...
Assume we have an
inhomogeneous Partial Differential Equation of the form [FONT=MathJax_Math]
A[/FONT][FONT=MathJax_Math]
u[/FONT][FONT=MathJax_Math]
x[/FONT][FONT=MathJax_Math]
x[/FONT][FONT=MathJax_Main]+[/FONT][FONT=MathJax_Main]2[/FONT][FONT=MathJax_Math]
B[/FONT][FONT=MathJax_Math]
u[/FONT][FONT=MathJax_Math]
x[/FONT][FONT=MathJax_Math]
y[/FONT][FONT=MathJax_Main]+[/FONT][FONT=MathJax_Math]
C[/FONT][FONT=MathJax_Math]
u[/FONT][FONT=MathJax_Math]
y[/FONT][FONT=MathJax_Math]
y[/FONT][FONT=MathJax_Main]+[/FONT][FONT=MathJax_Math]
D[/FONT][FONT=MathJax_Math]
u[/FONT][FONT=MathJax_Math]
x[/FONT][FONT=MathJax_Main]+[/FONT][FONT=MathJax_Math]
E[/FONT][FONT=MathJax_Math]
u[/FONT][FONT=MathJax_Math]
y[/FONT][FONT=MathJax_Main]+[/FONT][FONT=MathJax_Math]
F[/FONT][FONT=MathJax_Math]
u[/FONT][FONT=MathJax_Main]=[/FONT][FONT=MathJax_Math]
w[/FONT][FONT=MathJax_Main]([/FONT][FONT=MathJax_Math]
x[/FONT][FONT=MathJax_Main],[/FONT][FONT=MathJax_Math]
y[/FONT][FONT=MathJax_Main])[/FONT][FONT=MathJax_Main](1)[/FONT]
with some initial and boundary conditions.
Let us define the
auxiliary linear homogeneous equation as
[FONT=MathJax_Math]
A[/FONT][FONT=MathJax_Math]
v[/FONT][FONT=MathJax_Math]
x[/FONT][FONT=MathJax_Math]
x[/FONT][FONT=MathJax_Main]+[/FONT][FONT=MathJax_Main]2[/FONT][FONT=MathJax_Math]
B[/FONT][FONT=MathJax_Math]
v[/FONT][FONT=MathJax_Math]
x[/FONT][FONT=MathJax_Math]
y[/FONT][FONT=MathJax_Main]+[/FONT][FONT=MathJax_Math]
C[/FONT][FONT=MathJax_Math]
v[/FONT][FONT=MathJax_Math]
y[/FONT][FONT=MathJax_Math]
y[/FONT][FONT=MathJax_Main]+[/FONT][FONT=MathJax_Math]
D[/FONT][FONT=MathJax_Math]
v[/FONT][FONT=MathJax_Math]
x[/FONT][FONT=MathJax_Main]+[/FONT][FONT=MathJax_Math]
E[/FONT][FONT=MathJax_Math]
v[/FONT][FONT=MathJax_Math]
y[/FONT][FONT=MathJax_Main]+[/FONT][FONT=MathJax_Math]
F[/FONT][FONT=MathJax_Math]
v[/FONT][FONT=MathJax_Main]=[/FONT][FONT=MathJax_Main]0[/FONT][FONT=MathJax_Main](2)[/FONT]
with the same boundary conditions as in
[FONT=MathJax_Main](1)[/FONT] Then the
general solution [FONT=MathJax_Math]
u[/FONT][FONT=MathJax_Main]=[/FONT][FONT=MathJax_Math]
u[/FONT][FONT=MathJax_Main]general[/FONT]
of the inhomogeneous equation
[FONT=MathJax_Main](1)[/FONT] can be written as the sum of a particular solution [FONT=MathJax_Math]
u[/FONT][FONT=MathJax_Main]particular[/FONT] of
[FONT=MathJax_Main](1)[/FONT] and a general solution [FONT=MathJax_Math]
v[/FONT][FONT=MathJax_Main]general[/FONT] of the auxiliary
homogeneous equation
[FONT=MathJax_Main](2)[/FONT]:
[FONT=MathJax_Math]u[/FONT][FONT=MathJax_Main]general[/FONT][FONT=MathJax_Main]([/FONT][FONT=MathJax_Math]x[/FONT][FONT=MathJax_Main],[/FONT][FONT=MathJax_Math]y[/FONT][FONT=MathJax_Main])[/FONT][FONT=MathJax_Main]=[/FONT][FONT=MathJax_Math]v[/FONT][FONT=MathJax_Main]general[/FONT][FONT=MathJax_Main]([/FONT][FONT=MathJax_Math]x[/FONT][FONT=MathJax_Main],[/FONT][FONT=MathJax_Math]y[/FONT][FONT=MathJax_Main])[/FONT][FONT=MathJax_Main]+[/FONT][FONT=MathJax_Math]u[/FONT][FONT=MathJax_Main]particular[/FONT][FONT=MathJax_Main]([/FONT][FONT=MathJax_Math]x[/FONT][FONT=MathJax_Main],[/FONT][FONT=MathJax_Math]y[/FONT][FONT=MathJax_Main])[/FONT][FONT=MathJax_Main].[/FONT]