Chris Miller
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Curious as to how certain irrationals called "schizophrenic numbers" can present long (theoretically infinitely long) repeating (i.e. clearly non random) patterns. One particular number is mentioned here (https://www.mathpages.com/home/kmath404.htm) and on Wiki via, for any positive integer n let f(0)=0 and f(n) denote the integer given by the recurrence f(n)=10 f(n-1)+n, then specifying f(49) (i.e. 12345679012345679012345679012345679012345679007) which square root's base 10 digits to a few hundred decimal places (less the decimal here) =
11111111111111111111111111111111111111111111108705555555555555555555555555555555
55555555555529515416666666666666666666666666666666666666661028976597222222222222
22222222222222222222222069652234717881944444444444444444444444444444398200481231
8789062499999999999999999999999999
Clearly non-random, sort of pseudo-rational. As long as n is odd, the larger n is, the longer the repeating patterns in sqrt(f(n)).
I've done further testing (fooling around) and it appears this is true for any base. I.e., let f(0)=0 and f(n) = f(n-1)*BASE+n. Then present sqrt(f(n)) in that BASE and there will be improbable numbers of repeating patterns (as long as n is odd).
It seems that the larger the BASE, the more glaring the effect.
For example, in base 256. With all "digits" expressed as hex values,
f( 269 ) =
01 02 03 04 05 06 07 08 09 0A 0B 0C 0D 0E 0F 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1A 1B 1C 1D 1E 1F 20 21 22 23 24 25 26 27 28
29 2A 2B 2C 2D 2E 2F 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 3A 3B 3C 3D 3E 3F 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 4A 4B 4C 4D 4E 4F 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 5A 5B 5C 5D 5E 5F 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 6A 6B 6C 6D 6E 6F 70 71 72 73 74 75 76 77 78
79 7A 7B 7C 7D 7E 7F 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 8A 8B 8C 8D 8E 8F 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 9A 9B 9C 9D 9E 9F A0
A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 AA AB AC AD AE AF B0 B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8 B9 BA BB BC BD BE BF C0 C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8
C9 CA CB CC CD CE CF D0 D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 DA DB DC DD DE DF E0 E1 E2 E3 E4 E5 E6 E7 E8 E9 EA EB EC ED EE EF F0
F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 F8 F9 FA FB FC FD FF 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 0A 0B 0C 0D 0D
The square root (an irrational) of the above base 256 f(269) integer to about 1200 (base 256) decimal places is
01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01
01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01
01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01
01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01
01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01
01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01
01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 00 7A 00 80 80 80 80 80 80 80 80 80
80 80 80 80 80 80 80 80 80 80 80 80 80 80 80 80 80 80 80 80 80 80 80 80 80 80 80 80 80 80 80 80 80 80 80 80 80 80 80 80
80 80 80 80 80 80 80 80 80 80 80 80 80 80 80 80 80 80 80 80 80 80 80 80 80 80 80 80 80 80 80 80 80 80 80 80 80 80 80 80
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80 80 80 80 80 80 80 80 80 80 80 80 80 80 80 80 80 5D 0B 55 80 60 60 60 60 60 60 60 60 60 60 60 60 60 60 60 60 60 60 60
60 60 60 60 60 60 60 60 60 60 60 60 60 60 60 60 60 60 60 60 60 60 60 60 60 60 60 60 60 60 60 60 60 60 60 60 60 60 60 60
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60 60 60 60 60 60 60 60 60 60 60 60 60 60 60 60 60 60 60 60 60 60 60 60 60 60 60 60 60 60 60 60 60 60 60 60 60 60 60 60
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60 60 60 60 60 60 60 60 60 60 60 60 60 60 60 60 60 60 60 60 60 60 60 60 60 60 60 60 60 60 60 60 60 60 60 60 60 60 60 60
60 60 60 60 60 4D C0 37 C2 67 00 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50
50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50
50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50
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50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50
50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50
50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 44 15 78 F8 DA ED A3
F0 46 46 46 46 46 46 46 46 46 46 46 46 46 46 46 46 46 46 46 46 46 46 46 46 46 46 46 46 46 46 46 46 46 46 46 46 46 46 46
46 46 46 46 46 46 46 46 46 46 46 46 46 46 46 46 46 46 46 46 46 46 46 46 46 46 46 46 46 46 46 46 46 46 46 46 46 46 46 46
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46 46 46 46 46 46 46 46 46 46 46 46 46 46 46 46 46 46 46 46 46 46 46 46 46 46 46 46 46 46 46 46 46 46 46 46 46 46 46 46
46 46 46 46 46 46 46 46 46 46 46 46 46 46 46 46 46 46 46 46 46 46 46 46 46 46 46 46 46 46 46 46 46 46 46 46 46 46 46 46
46 46 46 46 46 46 46 46 46 46 46 46 46 46 46 46 46 46 46 46 46 46 46 46 46 46 46 46 46 46 46 46 46 46 46 46 46 46 46 46
46 46 46 46 46 46 46 46 46 46 46 46 46 46 46 46 46 46 46 46 46
It continues on in this way for at least another 2000 (base 256) digits, never did reach the end in my test program.
I'd appreciate some mathematical explanation of the weird phenomenon.
11111111111111111111111111111111111111111111108705555555555555555555555555555555
55555555555529515416666666666666666666666666666666666666661028976597222222222222
22222222222222222222222069652234717881944444444444444444444444444444398200481231
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Clearly non-random, sort of pseudo-rational. As long as n is odd, the larger n is, the longer the repeating patterns in sqrt(f(n)).
I've done further testing (fooling around) and it appears this is true for any base. I.e., let f(0)=0 and f(n) = f(n-1)*BASE+n. Then present sqrt(f(n)) in that BASE and there will be improbable numbers of repeating patterns (as long as n is odd).
It seems that the larger the BASE, the more glaring the effect.
For example, in base 256. With all "digits" expressed as hex values,
f( 269 ) =
01 02 03 04 05 06 07 08 09 0A 0B 0C 0D 0E 0F 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1A 1B 1C 1D 1E 1F 20 21 22 23 24 25 26 27 28
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The square root (an irrational) of the above base 256 f(269) integer to about 1200 (base 256) decimal places is
01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01
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It continues on in this way for at least another 2000 (base 256) digits, never did reach the end in my test program.
I'd appreciate some mathematical explanation of the weird phenomenon.
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