Creating a square function that didn't created by multiplying 2 linear functions

[shahar]

In an article, there is a note that not every square function be created by multiplying 2 linear functions. Can somebody give an example?

 

[topsquark]

That makes no sense to me. Can you give us a link to the article?

-Dan

 

[shahar]

האם במכפלה ניתן למצות את כל האפשרויות?

קיימת מגבלה חשובה שאין להתעלם ממנה בהקשר זה. אף כי הצורה הכללית של המכפלה של שתי פונקציות לינאריות היא: f(x) = ax^2 + bx + c אין פונקציית המכפלה נותנת תמונה שלמה של הפונקציה הריבועית מפני שלא כל פונקציה ריבועית ניתנת להצגה כמכפלה של שני גורמים ליניאריים.

נשאלת השאלה: איך הגרפים של אותן פונקציות לא-פריקות מתייחסים לגרפים של פונקציות ריבועיות שניתנות לפירוק ליניארי? נחזור לשאלה זאת וננתח אותה באופן איכותי אחרי דיון הביניים.

דיון ביניים

בדרך-כלל הלימוד של הפונקציות הריבועיות בא אחרי הלימוד של הפונקציות הליניאריות. בסוף לימוד אינטנסיבי של הקו הישר, ייצוגו האלגברי והגראפי והקשרים בין תכונות הקווים לבין הפרמטרים, סוגרים את "המגירה" הזאת והניתוח של הפונקציות הריבועיות פותח אפיק חדש לגמרי שבו מתחיל ניתוח שיטתי של הקווים העקומים. ברוב הספרים (אפילו בספר כל כך טוב כמו הספר של לורך (1987 Lorch (הפונקציות הריבועיות "מוצנחות" בלי כל קשר לפונקציה הליניארית שלימודה אך זה הסתיים. אכן התכונות של הקווים העקומים שונות מאוד מהתכונות של הקו הישר: שיפוע בלתי-קבוע, נקודת אקסטרמום, סימטריה לעיתים, אפשרות של זוגיות או אי-זוגיות וכו'. בנוסף לכך, הפיתוח המתמטי הטהור של הפונקציה הריבועית לא דורש ידע על הפונקציה הליניארית. נראה כביכול שיש הצדקה להפרדת שני הנושאים. למרות זאת, כפי שראינו, הפרדה זו לא רק שהיא מיותרת מבחינה מתמטית, אלא שמבחינה פדגוגית ופסיכולוגית יש לה מחיר. לימוד הצורה האלגברית של מכפלת שתי פונקציות ליניאריות במקביל לחקירת ההצגה הגראפית של פונקצית המכפלה, יכול להוות מעבר טבעי מהפונקציות הליניאריות לפונקציות הריבועיות. חקירה נוספת של תכונות משותפות ושל הבדלים בין נציגים של תת-הקבוצות השונות של משפחת פונקציות-המכפלה, כפי שראינו לעיל, יכול להצעיד את התלמידים צעד משמעותי קדימה לקראת הבנה של הפונקציות הריבועיות במובן המלא של המילה, שעליה הרחיבו את הדיבור Davis ו- Henkin במאמריהם המשותפים (1978.(​

 

[shahar]

 

[BigBeachBanana]

In an article, there is a note that not every square function be created by multiplying 2 linear functions. Can somebody give an example?

I'm not sure what the article is saying or the point the author is trying to make but adding or subtracting would work. Essentially, you're just collecting like terms.
[imath](ax^2+bx+c)+(px^2+qx+r)=(a+p)x^2+(b+q)x+(c+r)[/imath]

 

[lev888]

Could it be related to functions whose corresponding quadratic equations do not have real roots?

 

[Steven G]

As lev is pointing out just consider x^2 + 1. This factors to (x - i)(x + i) and neither are linear factors. Of course this is not the only factoring of x^2+1, but you will have the same problem with all other factoring of x^2 + 1---they will not factor to linear equations.

 

[Deleted member 4993]

In an article, there is a note that not every square function be created by multiplying 2 linear functions. Can somebody give an example?

May be the author is trying to say:

For example: \(\displaystyle x^{\frac{3}{2}} * x^{\frac{1}{2}} \ = \ x^2\)

 

[blamocur]

I ran the article through Google Translate (not sure why OP did not bother doing the same), and it seems that it is more about teaching quadratic functions rather than math -- at least this is the impression I got.