Prove limit theorem f(x)g(x)=lm

G

gmasalieva

New member
Joined
Sep 24, 2011
Messages
1
Hey i am trying to understand Spivak's proof of lim x->a of f(x)g(x)=lm (where l is limit of f(x) and m is lim of g(x) )..but i think he is skipping many steps and at one point i dont understand why he is doing something..

ok so the following i understand:

[FONT=MathJax_Main]|[/FONT][FONT=MathJax_Math]f[/FONT][FONT=MathJax_Main]([/FONT][FONT=MathJax_Math]x[/FONT][FONT=MathJax_Main])[/FONT][FONT=MathJax_Math]g[/FONT][FONT=MathJax_Main]([/FONT][FONT=MathJax_Math]x[/FONT][FONT=MathJax_Main])[/FONT][FONT=MathJax_Main]−[/FONT][FONT=MathJax_Math]l[/FONT][FONT=MathJax_Math]m[/FONT][FONT=MathJax_Main]|[/FONT]< E
[FONT=MathJax_Main]≤[/FONT][FONT=MathJax_Main]|[/FONT][FONT=MathJax_Math]f[/FONT][FONT=MathJax_Main]([/FONT][FONT=MathJax_Math]x[/FONT][FONT=MathJax_Main])[/FONT][FONT=MathJax_Main]|[/FONT][FONT=MathJax_Main]|[/FONT][FONT=MathJax_Math]g[/FONT][FONT=MathJax_Main]([/FONT][FONT=MathJax_Math]x[/FONT][FONT=MathJax_Main])[/FONT][FONT=MathJax_Main]−[/FONT][FONT=MathJax_Math]m[/FONT][FONT=MathJax_Main]|[/FONT] + [FONT=MathJax_Main]|[/FONT][FONT=MathJax_Math]m[/FONT][FONT=MathJax_Main]|[/FONT][FONT=MathJax_Main]|[/FONT][FONT=MathJax_Math]f[/FONT][FONT=MathJax_Main]([/FONT][FONT=MathJax_Math]x[/FONT][FONT=MathJax_Main])[/FONT][FONT=MathJax_Main]−[/FONT][FONT=MathJax_Math]l[/FONT][FONT=MathJax_Main]|[/FONT]<E

[FONT=MathJax_Main]|[/FONT][FONT=MathJax_Math]f[/FONT][FONT=MathJax_Main]([/FONT][FONT=MathJax_Math]x[/FONT][FONT=MathJax_Main])[/FONT][FONT=MathJax_Main]−[/FONT][FONT=MathJax_Math]l[/FONT][FONT=MathJax_Main]|[/FONT][FONT=MathJax_Main]≤[/FONT]1
[FONT=MathJax_Main]|[/FONT][FONT=MathJax_Math]f[/FONT][FONT=MathJax_Main]([/FONT][FONT=MathJax_Math]x[/FONT][FONT=MathJax_Main])[/FONT][FONT=MathJax_Main]|[/FONT][FONT=MathJax_Main]≤[/FONT][FONT=MathJax_Main]|[/FONT][FONT=MathJax_Math]l[/FONT][FONT=MathJax_Main]|[/FONT]+1

[FONT=MathJax_Main]|[/FONT][FONT=MathJax_Math]f[/FONT][FONT=MathJax_Main]([/FONT][FONT=MathJax_Math]x[/FONT][FONT=MathJax_Main])[/FONT][FONT=MathJax_Main]|[/FONT][FONT=MathJax_Main]|[/FONT][FONT=MathJax_Math]g[/FONT][FONT=MathJax_Main]([/FONT][FONT=MathJax_Math]x[/FONT][FONT=MathJax_Main])[/FONT][FONT=MathJax_Main]−[/FONT][FONT=MathJax_Math]m[/FONT][FONT=MathJax_Main]|[/FONT]<([FONT=MathJax_Main]|[/FONT][FONT=MathJax_Math]l[/FONT][FONT=MathJax_Main]|[/FONT]+1)[FONT=MathJax_Main]|[/FONT][FONT=MathJax_Math]g[/FONT][FONT=MathJax_Main]([/FONT][FONT=MathJax_Math]x[/FONT][FONT=MathJax_Main])[/FONT][FONT=MathJax_Main]−[/FONT][FONT=MathJax_Math]m[/FONT][FONT=MathJax_Main]|[/FONT]<E/2
[FONT=MathJax_Main]|[/FONT][FONT=MathJax_Math]g[/FONT][FONT=MathJax_Main]([/FONT][FONT=MathJax_Math]x[/FONT][FONT=MathJax_Main])[/FONT][FONT=MathJax_Main]−[/FONT][FONT=MathJax_Math]m[/FONT][FONT=MathJax_Main]|[/FONT]< [FONT=MathJax_Math]E[/FONT][FONT=MathJax_Main]/(2[/FONT][FONT=MathJax_Main]([/FONT][FONT=MathJax_Main]∣[/FONT][FONT=MathJax_Math]l[/FONT][FONT=MathJax_Main]∣[/FONT][FONT=MathJax_Main]+[/FONT][FONT=MathJax_Main]1[/FONT][FONT=MathJax_Main])[/FONT])[FONT=MathJax_Main]
|[/FONT][FONT=MathJax_Math]f[/FONT][FONT=MathJax_Main]([/FONT][FONT=MathJax_Math]x[/FONT][FONT=MathJax_Main])[/FONT][FONT=MathJax_Main]|[/FONT][FONT=MathJax_Main]|[/FONT][FONT=MathJax_Math]g[/FONT][FONT=MathJax_Main]([/FONT][FONT=MathJax_Math]x[/FONT][FONT=MathJax_Main])[/FONT][FONT=MathJax_Main]−[/FONT][FONT=MathJax_Math]m[/FONT][FONT=MathJax_Main]|[/FONT]<([FONT=MathJax_Main]|[/FONT][FONT=MathJax_Math]l[/FONT][FONT=MathJax_Main]|[/FONT]+1)[FONT=MathJax_Math]E/([/FONT][FONT=MathJax_Main]2[/FONT][FONT=MathJax_Main]([/FONT][FONT=MathJax_Main]∣[/FONT][FONT=MathJax_Math]l[/FONT][FONT=MathJax_Main]∣[/FONT][FONT=MathJax_Main]+[/FONT][FONT=MathJax_Main]1[/FONT][FONT=MathJax_Main]))[/FONT]

[FONT=MathJax_Main]|[/FONT][FONT=MathJax_Math]f[/FONT][FONT=MathJax_Main]([/FONT][FONT=MathJax_Math]x[/FONT][FONT=MathJax_Main])[/FONT][FONT=MathJax_Main]|[/FONT][FONT=MathJax_Main]|[/FONT][FONT=MathJax_Math]g[/FONT][FONT=MathJax_Main]([/FONT][FONT=MathJax_Math]x[/FONT][FONT=MathJax_Main])[/FONT][FONT=MathJax_Main]−[/FONT][FONT=MathJax_Math]m[/FONT][FONT=MathJax_Main]|[/FONT]<E/2


ok so now i am guessing that we wanna say that [FONT=MathJax_Main]|[/FONT][FONT=MathJax_Math]m[/FONT][FONT=MathJax_Main]|[/FONT][FONT=MathJax_Main]|[/FONT][FONT=MathJax_Math]f[/FONT][FONT=MathJax_Main]([/FONT][FONT=MathJax_Math]x[/FONT][FONT=MathJax_Main])[/FONT][FONT=MathJax_Main]−[/FONT][FONT=MathJax_Math]l[/FONT][FONT=MathJax_Main]|[/FONT]<E/2 so that E/2 + E/2 = E
so can u just say:
[FONT=MathJax_Main]|[/FONT][FONT=MathJax_Math]m[/FONT][FONT=MathJax_Main]|[/FONT][FONT=MathJax_Main]|[/FONT][FONT=MathJax_Math]f[/FONT][FONT=MathJax_Main]([/FONT][FONT=MathJax_Math]x[/FONT][FONT=MathJax_Main])[/FONT][FONT=MathJax_Main]−[/FONT][FONT=MathJax_Math]l[/FONT][FONT=MathJax_Main]|[/FONT]<E/2
[FONT=MathJax_Main]|[/FONT][FONT=MathJax_Math]f[/FONT][FONT=MathJax_Main]([/FONT][FONT=MathJax_Math]x[/FONT][FONT=MathJax_Main])[/FONT][FONT=MathJax_Main]−[/FONT][FONT=MathJax_Math]l[/FONT][FONT=MathJax_Main]|[/FONT]<E/(2[FONT=MathJax_Main]|[/FONT][FONT=MathJax_Math]m[/FONT][FONT=MathJax_Main]|[/FONT])

cus i mean m is just a constant..it cant be restricted like f(x) was...

so:
[FONT=MathJax_Main]|[/FONT][FONT=MathJax_Math]m[/FONT][FONT=MathJax_Main]|[/FONT][FONT=MathJax_Main]|[/FONT][FONT=MathJax_Math]f[/FONT][FONT=MathJax_Main]([/FONT][FONT=MathJax_Math]x[/FONT][FONT=MathJax_Main])[/FONT][FONT=MathJax_Main]−[/FONT][FONT=MathJax_Math]l[/FONT][FONT=MathJax_Main]|[/FONT]<[FONT=MathJax_Main]|[/FONT][FONT=MathJax_Math]m[/FONT][FONT=MathJax_Main]|[/FONT](E/(2[FONT=MathJax_Main]|[/FONT][FONT=MathJax_Math]m[/FONT][FONT=MathJax_Main]|[/FONT]))= E/2

so then:
[FONT=MathJax_Main]|[/FONT][FONT=MathJax_Math]f[/FONT][FONT=MathJax_Main]([/FONT][FONT=MathJax_Math]x[/FONT][FONT=MathJax_Main])[/FONT][FONT=MathJax_Main]|[/FONT][FONT=MathJax_Main]|[/FONT][FONT=MathJax_Math]g[/FONT][FONT=MathJax_Main]([/FONT][FONT=MathJax_Math]x[/FONT][FONT=MathJax_Main])[/FONT][FONT=MathJax_Main]−[/FONT][FONT=MathJax_Math]m[/FONT][FONT=MathJax_Main]|[/FONT] + [FONT=MathJax_Main]|[/FONT][FONT=MathJax_Math]m[/FONT][FONT=MathJax_Main]|[/FONT][FONT=MathJax_Main]|[/FONT][FONT=MathJax_Math]f[/FONT][FONT=MathJax_Main]([/FONT][FONT=MathJax_Math]x[/FONT][FONT=MathJax_Main])[/FONT][FONT=MathJax_Main]−[/FONT][FONT=MathJax_Math]l[/FONT][FONT=MathJax_Main]|[/FONT]< E/2 + E/2 =E

when [FONT=MathJax_Main]|[/FONT][FONT=MathJax_Math]f[/FONT][FONT=MathJax_Main]([/FONT][FONT=MathJax_Math]x[/FONT][FONT=MathJax_Main])[/FONT][FONT=MathJax_Main]−[/FONT][FONT=MathJax_Math]l[/FONT][FONT=MathJax_Main]|[/FONT] < min (1, E/(2|m|) ) and [FONT=MathJax_Main]|[/FONT][FONT=MathJax_Math]g[/FONT][FONT=MathJax_Main]([/FONT][FONT=MathJax_Math]x[/FONT][FONT=MathJax_Main])[/FONT][FONT=MathJax_Main]−[/FONT][FONT=MathJax_Math]m[/FONT][FONT=MathJax_Main]|[/FONT]<[FONT=MathJax_Math]E[/FONT][FONT=MathJax_Main]/2[/FONT][FONT=MathJax_Main]([/FONT][FONT=MathJax_Main]∣[/FONT][FONT=MathJax_Math]l[/FONT][FONT=MathJax_Main]∣[/FONT][FONT=MathJax_Main]+[/FONT][FONT=MathJax_Main]1[/FONT][FONT=MathJax_Main])[/FONT]



but Spivak is saying that [FONT=MathJax_Main]|[/FONT][FONT=MathJax_Math]f[/FONT][FONT=MathJax_Main]([/FONT][FONT=MathJax_Math]x[/FONT][FONT=MathJax_Main])[/FONT][FONT=MathJax_Main]−[/FONT][FONT=MathJax_Math]l[/FONT][FONT=MathJax_Main]|[/FONT] < min (1, E/( 2(|m|+1) ) ) and i have no clue why... help plsss?
 
gmasalieva said:
Hey i am trying to understand Spivak's proof of lim x->a of f(x)g(x)=lm (where l is limit of f(x) and m is lim of g(x) )..but i think he is skipping many steps and at one point i dont understand why he is doing something..

ok so the following i understand:

[FONT=MathJax_Main]|[/FONT][FONT=MathJax_Math]f[/FONT][FONT=MathJax_Main]([/FONT][FONT=MathJax_Math]x[/FONT][FONT=MathJax_Main])[/FONT][FONT=MathJax_Math]g[/FONT][FONT=MathJax_Main]([/FONT][FONT=MathJax_Math]x[/FONT][FONT=MathJax_Main])[/FONT][FONT=MathJax_Main]−[/FONT][FONT=MathJax_Math]l[/FONT][FONT=MathJax_Math]m[/FONT][FONT=MathJax_Main]|[/FONT]< E
[FONT=MathJax_Main]≤[/FONT][FONT=MathJax_Main]|[/FONT][FONT=MathJax_Math]f[/FONT][FONT=MathJax_Main]([/FONT][FONT=MathJax_Math]x[/FONT][FONT=MathJax_Main])[/FONT][FONT=MathJax_Main]|[/FONT][FONT=MathJax_Main]|[/FONT][FONT=MathJax_Math]g[/FONT][FONT=MathJax_Main]([/FONT][FONT=MathJax_Math]x[/FONT][FONT=MathJax_Main])[/FONT][FONT=MathJax_Main]−[/FONT][FONT=MathJax_Math]m[/FONT][FONT=MathJax_Main]|[/FONT] + [FONT=MathJax_Main]|[/FONT][FONT=MathJax_Math]m[/FONT][FONT=MathJax_Main]|[/FONT][FONT=MathJax_Main]|[/FONT][FONT=MathJax_Math]f[/FONT][FONT=MathJax_Main]([/FONT][FONT=MathJax_Math]x[/FONT][FONT=MathJax_Main])[/FONT][FONT=MathJax_Main]−[/FONT][FONT=MathJax_Math]l[/FONT][FONT=MathJax_Main]|[/FONT]<E

[FONT=MathJax_Main]|[/FONT][FONT=MathJax_Math]f[/FONT][FONT=MathJax_Main]([/FONT][FONT=MathJax_Math]x[/FONT][FONT=MathJax_Main])[/FONT][FONT=MathJax_Main]−[/FONT][FONT=MathJax_Math]l[/FONT][FONT=MathJax_Main]|[/FONT][FONT=MathJax_Main]≤[/FONT]1
[FONT=MathJax_Main]|[/FONT][FONT=MathJax_Math]f[/FONT][FONT=MathJax_Main]([/FONT][FONT=MathJax_Math]x[/FONT][FONT=MathJax_Main])[/FONT][FONT=MathJax_Main]|[/FONT][FONT=MathJax_Main]≤[/FONT][FONT=MathJax_Main]|[/FONT][FONT=MathJax_Math]l[/FONT][FONT=MathJax_Main]|[/FONT]+1

[FONT=MathJax_Main]|[/FONT][FONT=MathJax_Math]f[/FONT][FONT=MathJax_Main]([/FONT][FONT=MathJax_Math]x[/FONT][FONT=MathJax_Main])[/FONT][FONT=MathJax_Main]|[/FONT][FONT=MathJax_Main]|[/FONT][FONT=MathJax_Math]g[/FONT][FONT=MathJax_Main]([/FONT][FONT=MathJax_Math]x[/FONT][FONT=MathJax_Main])[/FONT][FONT=MathJax_Main]−[/FONT][FONT=MathJax_Math]m[/FONT][FONT=MathJax_Main]|[/FONT]<([FONT=MathJax_Main]|[/FONT][FONT=MathJax_Math]l[/FONT][FONT=MathJax_Main]|[/FONT]+1)[FONT=MathJax_Main]|[/FONT][FONT=MathJax_Math]g[/FONT][FONT=MathJax_Main]([/FONT][FONT=MathJax_Math]x[/FONT][FONT=MathJax_Main])[/FONT][FONT=MathJax_Main]−[/FONT][FONT=MathJax_Math]m[/FONT][FONT=MathJax_Main]|[/FONT]<E/2
[FONT=MathJax_Main]|[/FONT][FONT=MathJax_Math]g[/FONT][FONT=MathJax_Main]([/FONT][FONT=MathJax_Math]x[/FONT][FONT=MathJax_Main])[/FONT][FONT=MathJax_Main]−[/FONT][FONT=MathJax_Math]m[/FONT][FONT=MathJax_Main]|[/FONT]< [FONT=MathJax_Math]E[/FONT][FONT=MathJax_Main]/(2[/FONT][FONT=MathJax_Main]([/FONT][FONT=MathJax_Main]∣[/FONT][FONT=MathJax_Math]l[/FONT][FONT=MathJax_Main]∣[/FONT][FONT=MathJax_Main]+[/FONT][FONT=MathJax_Main]1[/FONT][FONT=MathJax_Main])[/FONT])[FONT=MathJax_Main]
|[/FONT][FONT=MathJax_Math]f[/FONT][FONT=MathJax_Main]([/FONT][FONT=MathJax_Math]x[/FONT][FONT=MathJax_Main])[/FONT][FONT=MathJax_Main]|[/FONT][FONT=MathJax_Main]|[/FONT][FONT=MathJax_Math]g[/FONT][FONT=MathJax_Main]([/FONT][FONT=MathJax_Math]x[/FONT][FONT=MathJax_Main])[/FONT][FONT=MathJax_Main]−[/FONT][FONT=MathJax_Math]m[/FONT][FONT=MathJax_Main]|[/FONT]<([FONT=MathJax_Main]|[/FONT][FONT=MathJax_Math]l[/FONT][FONT=MathJax_Main]|[/FONT]+1)[FONT=MathJax_Math]E/([/FONT][FONT=MathJax_Main]2[/FONT][FONT=MathJax_Main]([/FONT][FONT=MathJax_Main]∣[/FONT][FONT=MathJax_Math]l[/FONT][FONT=MathJax_Main]∣[/FONT][FONT=MathJax_Main]+[/FONT][FONT=MathJax_Main]1[/FONT][FONT=MathJax_Main]))[/FONT]

[FONT=MathJax_Main]|[/FONT][FONT=MathJax_Math]f[/FONT][FONT=MathJax_Main]([/FONT][FONT=MathJax_Math]x[/FONT][FONT=MathJax_Main])[/FONT][FONT=MathJax_Main]|[/FONT][FONT=MathJax_Main]|[/FONT][FONT=MathJax_Math]g[/FONT][FONT=MathJax_Main]([/FONT][FONT=MathJax_Math]x[/FONT][FONT=MathJax_Main])[/FONT][FONT=MathJax_Main]−[/FONT][FONT=MathJax_Math]m[/FONT][FONT=MathJax_Main]|[/FONT]<E/2


ok so now i am guessing that we wanna say that [FONT=MathJax_Main]|[/FONT][FONT=MathJax_Math]m[/FONT][FONT=MathJax_Main]|[/FONT][FONT=MathJax_Main]|[/FONT][FONT=MathJax_Math]f[/FONT][FONT=MathJax_Main]([/FONT][FONT=MathJax_Math]x[/FONT][FONT=MathJax_Main])[/FONT][FONT=MathJax_Main]−[/FONT][FONT=MathJax_Math]l[/FONT][FONT=MathJax_Main]|[/FONT]<E/2 so that E/2 + E/2 = E
so can u just say:
[FONT=MathJax_Main]|[/FONT][FONT=MathJax_Math]m[/FONT][FONT=MathJax_Main]|[/FONT][FONT=MathJax_Main]|[/FONT][FONT=MathJax_Math]f[/FONT][FONT=MathJax_Main]([/FONT][FONT=MathJax_Math]x[/FONT][FONT=MathJax_Main])[/FONT][FONT=MathJax_Main]−[/FONT][FONT=MathJax_Math]l[/FONT][FONT=MathJax_Main]|[/FONT]<E/2
[FONT=MathJax_Main]|[/FONT][FONT=MathJax_Math]f[/FONT][FONT=MathJax_Main]([/FONT][FONT=MathJax_Math]x[/FONT][FONT=MathJax_Main])[/FONT][FONT=MathJax_Main]−[/FONT][FONT=MathJax_Math]l[/FONT][FONT=MathJax_Main]|[/FONT]<E/(2[FONT=MathJax_Main]|[/FONT][FONT=MathJax_Math]m[/FONT][FONT=MathJax_Main]|[/FONT])

cus i mean m is just a constant..it cant be restricted like f(x) was...

so:
[FONT=MathJax_Main]|[/FONT][FONT=MathJax_Math]m[/FONT][FONT=MathJax_Main]|[/FONT][FONT=MathJax_Main]|[/FONT][FONT=MathJax_Math]f[/FONT][FONT=MathJax_Main]([/FONT][FONT=MathJax_Math]x[/FONT][FONT=MathJax_Main])[/FONT][FONT=MathJax_Main]−[/FONT][FONT=MathJax_Math]l[/FONT][FONT=MathJax_Main]|[/FONT]<[FONT=MathJax_Main]|[/FONT][FONT=MathJax_Math]m[/FONT][FONT=MathJax_Main]|[/FONT](E/(2[FONT=MathJax_Main]|[/FONT][FONT=MathJax_Math]m[/FONT][FONT=MathJax_Main]|[/FONT]))= E/2

so then:
[FONT=MathJax_Main]|[/FONT][FONT=MathJax_Math]f[/FONT][FONT=MathJax_Main]([/FONT][FONT=MathJax_Math]x[/FONT][FONT=MathJax_Main])[/FONT][FONT=MathJax_Main]|[/FONT][FONT=MathJax_Main]|[/FONT][FONT=MathJax_Math]g[/FONT][FONT=MathJax_Main]([/FONT][FONT=MathJax_Math]x[/FONT][FONT=MathJax_Main])[/FONT][FONT=MathJax_Main]−[/FONT][FONT=MathJax_Math]m[/FONT][FONT=MathJax_Main]|[/FONT] + [FONT=MathJax_Main]|[/FONT][FONT=MathJax_Math]m[/FONT][FONT=MathJax_Main]|[/FONT][FONT=MathJax_Main]|[/FONT][FONT=MathJax_Math]f[/FONT][FONT=MathJax_Main]([/FONT][FONT=MathJax_Math]x[/FONT][FONT=MathJax_Main])[/FONT][FONT=MathJax_Main]−[/FONT][FONT=MathJax_Math]l[/FONT][FONT=MathJax_Main]|[/FONT]< E/2 + E/2 =E

when [FONT=MathJax_Main]|[/FONT][FONT=MathJax_Math]f[/FONT][FONT=MathJax_Main]([/FONT][FONT=MathJax_Math]x[/FONT][FONT=MathJax_Main])[/FONT][FONT=MathJax_Main]−[/FONT][FONT=MathJax_Math]l[/FONT][FONT=MathJax_Main]|[/FONT] < min (1, E/(2|m|) ) and [FONT=MathJax_Main]|[/FONT][FONT=MathJax_Math]g[/FONT][FONT=MathJax_Main]([/FONT][FONT=MathJax_Math]x[/FONT][FONT=MathJax_Main])[/FONT][FONT=MathJax_Main]−[/FONT][FONT=MathJax_Math]m[/FONT][FONT=MathJax_Main]|[/FONT]<[FONT=MathJax_Math]E[/FONT][FONT=MathJax_Main]/2[/FONT][FONT=MathJax_Main]([/FONT][FONT=MathJax_Main]∣[/FONT][FONT=MathJax_Math]l[/FONT][FONT=MathJax_Main]∣[/FONT][FONT=MathJax_Main]+[/FONT][FONT=MathJax_Main]1[/FONT][FONT=MathJax_Main])[/FONT]
but Spivak is saying that [FONT=MathJax_Main]|[/FONT][FONT=MathJax_Math]f[/FONT][FONT=MathJax_Main]([/FONT][FONT=MathJax_Math]x[/FONT][FONT=MathJax_Main])[/FONT][FONT=MathJax_Main]−[/FONT][FONT=MathJax_Math]l[/FONT][FONT=MathJax_Main]|[/FONT] < min (1, E/( 2(|m|+1) ) ) and i have no clue why... help plsss?
Click to expand...
I am sorry to tell you, but your posting is almost impossible to read.
However, you have control over the factors \(\displaystyle |f(x)-l|~\&~|g(x)-m|\).
By that we mean that those to factors can be made as small as necessary.
 
You must log in or register to reply here.
Top